ФАКУЛЬТАТИВ. Розв'язування задач з параметрами

Вітаю Вас, шановні студенти!

 

Надсилайте на пошту БУДЬ-ЯКІ Ваші матеріали(фото конспектів, задач, таблиць, розв'язки задач, фото домашнього завдання.....) , які я можу ОЦІНИТИ.
В даний момент функціонують електронні журнали, де я ВЖЕ виставляю ОЦІНКИ.
Моя пошта : kolganovaola585@gmail.com

Розв'язування задач з параметрами

Найпростіші задачі з параметрами

Під час розв’язування рівнянь з параметрами потрібно враховувати те, що хід розв’язування  та розв’язок залежать від значення параметра. Розв’язування рівнянь з параметрами вимагає ретельного аналізу та дослідження умов, оскільки потрібно логічно визначити всі можливі варіанти значення параметра, за яких рівняння мають розв’язок.

    Розв’язати рівняння з параметром – це означає, що для кожного значення параметра слід встановити, чи має рівняння розв’язки; якщо так, то знайти ці розв’язки, які зазвичай залежать від параметра.

Слід пам’ятати, що універсальних методів розв’язування задач із параметрами немає. Найчастіше користуються алгебраїчними і геометричними (графічними) методами.

Існує певний алгоритм розв’язування  рівнянь з параметрами.

 Алгоритм розв’язування рівнянь з параметрами 

1. Встановити область допустимих значень (ОДЗ)  змінної та ОДЗ параметрів.

2.  Виразити змінну через параметри.

3. Для кожного допустимого значення параметра  знайти множину значень рівняння (розв’язків даної  нерівності).

4. Дослідити особливі значення параметра, при яких корені рівняння існують, але не виражаються  формулами,які дістали.

До найпростіших  рівнянь з параметрами відносяться  лінійні рівняння  з параметрами. Розглянемо деякі приклади розв’язування  рівнянь з параметрами.

№ 1. Розв’язати рівняння:  ax – 2= x + a.  

Розв’язання:  

В ліву частину перенесемо доданки з х:    ax – x = a + 2.    Винесемо за  дужки x :    x(a – 1) = a + 2.

a)    a = 1,     0 x = 2                        б) a ≠ 1,      

    x    {Ø}                                   

Відповідь: якщо а = 1 , то х  {Ø} ;  якщо а ≠ 1, то 1 .

  № 2. Розв’язати рівняння:    ax = 3x – a + 3.              

Розв’язання:  
Перенесемо доданки  з х в ліву частину: ax – 3x = 3 – a        Винесемо за дужки  х:    (a – 3)x = 3 – a   
а)  a = 3,        0x = 0                    б) a ≠ 3,          
                     x є R                                              x = - 1 
Відповідь:  якщо а = 3 , то х є R;  якщо а ≠ 3 , то х = -1.
№ 3. Розв’язати рівняння: ах  + 5 = х + 5а.
Розв’язання:

Перенесемо доданки  з х в ліву частину: ах – х = 5а-5             

Винесемо х за дужки:                х(а – 1) = 5а– 5
а)   а = 1,      0х = 0                       б)   a ≠ 1,       
                     х є R                                                 x =  1
Відповідь:  якщо а = 1,то х є R; якщо а ≠ 1,то х = 1.

№ 4. Розв’язати рівняння: ax – 3x =  – 9.

Розв’язання:

Винесемо за дужки х і розкладемо на множники праву частину рівняння:         ( a – 3 ) x = ( a – 3 )( a + 3)

Розглянемо усі можливі значення х в залежності від значень параметра:

a)     a = 3,   0x = 0               b) a ≠ 3, x = a + 3
            x є R
Відповідь: якщо a = 3 ,то x є R; якщо a ≠ 3 ,то x = a + 3.
№ 5. Розв’язати рівняння:  3( х – а ) = 6(х – b).
Розв’язання:
 3х – 3а = 6х – 6b;   3x = 6b+3a
 якщо а є R, b є R, то х =
Відповідь: якщо а є R, b є R

Які основні способи (методи ) рішення задач з параметром ?

Спосіб I ( аналітичний ). Це спосіб так званого прямого рішення, що повторює стандартні процедури знаходження відповіді в задачах без параметра. Іноді кажуть , що це спосіб силового , в хорошому сенсі « нахабного » рішення.

 На думку авторів, аналітичний спосіб вирішення завдань з параметром є найважчий спосіб, що вимагає високої грамотності і найбільших зусиль з оволодіння ім.

Спосіб II ( графічний ). Залежно від завдання (з змінної х і параметром ) розглядаються графіки або в координатній площині ( х , у), або в координатній площині ( х ; а ).

Виняткова наочність і краса графічного способу розв'язання задач з параметром настільки захоплює вивчають тему « Задачі з параметром» , що вони починають ігнорувати інші способи вирішення, забуваючи загальновідомий факт: для будь-якого класу задач їх автори можуть сформулювати таку, яка блискуче вирішується даними способом і з колосальними труднощами іншими способами. Тому на початковій стадії вивчення небезпечно починати з графічних прийомів вирішення завдань з параметром.

Спосіб III (рішення щодо параметра ). При вирішенні цим способом змінні х і приймаються рівноправними і вибирається та змінна, щодо якої аналітичне рішення визнається простішим. Після природних спрощень повертаємося до вихідного змістом змінних х  і завершуємо розв’язування.

Параметри у тригонометрії 

Параметри у тригонометрії зустрічаються при розв’язуванні тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем. 

 Не існує загального методу розв’язування задач з параметрами у тригонометрії. 

Відповідний метод розв’язування кожної задачі залежить від її характерних особливостей. 

Можна визначити наступні вміння при розв’язуванні задач з параметрами: 1) вміти бачити природний хід розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей;

 2) вміти розв’язувати алгебраїчні рівняння і нерівності з параметрами; 

 3) знати властивості квадратичної функції і умови розміщення її коренів на числовій осі; 

4) мати навички побудови та перетворення графіків функцій і не забувати про графічні способи розв’язання задач;

 5) пам’ятати, що |cosα |≤1,|sinα |≤1.

 Першим кроком розв’язання може бути розв’язання алгебраїчного рівняння або нерівності з параметром відносно певної тригонометричної функції, а потім врахування області значень функцій y=sinα і y=cosα: (D(sinα )=[-1;1];D(cosα )=[-1;1] ). 

Розв’яжемо деякі тригонометричні задачі з параметрами.  

№ 1. Знайти найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a – 7 має розв’язки.

Розміщення коренів квадратного тричлена відносно числа Побудова і перетвоення графіків функцій